강의록 썸네일형 리스트형 [선형대수] 6강. 영벡터공간과 해집합 Null Space of A(N(A)) Set of vectors such that $Ax=0$($0$은 zero vector를 의미) $N(A)= \{ x|Ax=0 \}$ 이 때 조건을 만족하는 $x$라는 벡터 값들이 공간(space)임을 보이기 위해 5강에서 다뤘던 조건을 만족하는지 본다. closed under addition $Ax_1=0, Ax_2=0$이 있다고 하자. 즉, $x_1, x_2$는 Null Space라는 집합의 원소다. 그렇다면 $x_1+x_2\in N(A)$를 만족할 것인가. 이를 위해서는 $A(x_1+x_2)=0$임을 확인하면 된다. 식을 분리하면 $A(x_1)+A(x_2)$이고, 각각이 영벡터이므로 둘을 합치면 $0$이 된다. 그러므로 덧셈에 대해 닫혀있다고 말할 수 있다. .. [선형대수] 5강. 벡터공간과 열벡터공간 이전 장 정리 연립 방정식을 푸는 여러 방법이 있었는데, 연립 방정식을 행렬(계수)과 열 벡터(미지수)의 곱으로 표현했고, 그 결과도 열 벡터가 나옴을 확인했다. $$Ax=b$$ 이 식을 Gauss Elimination을 통해 풀면 x를 구할 수 있다. Gauss Elimination을 좀 더 확장하면 $A^{-1}$도 구할 수 있다. 이 때, $A^{-1}$이 존재한다면, 연립 방정식의 해는 딱 하나가 존재한다. 그렇지 않으면 해가 없다. 지금까지의 내용에서는 미지수의 개수와 연립 방정식의 개수가 같았다. 이번 장 내용 똑같이 선형 방정식을 푸는데, 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많다는 것이 앞 장과의 차이점이다. 이 경우에 해가 무한히 많거나, 해가 없다. 그렇기 때문에 '무한히 많은 해를 어떻게.. [선형대수] 4강. 역행렬과 전치행렬 Inverse $$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A = I$$ 역행렬과의 곱셈은 교환 법칙이 성립한다. 하지만 모든 행렬 A가 역행렬을 가지는 것이 아니다. 1) 역행렬은 언제 존재하는가? 가우스 소거법의 결과, n개의 pivot이 생길 때 역행렬이 존재한다(대각에 위치한 원소가 0이 아니어야 한다. 또한 pivot이 만들어지지 않더라도 행 교환으로 만들 수 있으면 역행렬이 존재한다.) $$det(A)=\prod_{i=1}^{n}d_i$$ 즉, $\prod_{i=1}^{n}d_i$가 0이라면 역행렬은 존재하지 않으며, det(A)도 가우스 소거법으로 구할 수 있다. 2) 역행렬은 unique하다. 3) A의 역행렬이 존재한다면, $Ax=b \Rightarrow A^{-1}\cdot Ax=.. [선형대수] 3강. LU 분할 1. 가우스 소거법 행렬로 풀기 앞에서 배운 가우스 소거법을 행렬의 곱으로 바꾸는 작업을 해보자. 우선 가우스 소거법의 단계를 정리해본다. (1)을 이용해 (2)의 u를 제거 (1)을 이용해 (3)의 u를 제거 (2)를 이용해 (3)의 v를 제거 순서를 따라 해본다. (1)을 이용해 (2)의 u를 제거 $\begin{bmatrix}E_{21}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1&1\\ 4&-6&0 \\ -2&7&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -2 \\ -2 & 7 & 2\end{bmatrix}$ 제거해야할 u는 (2)에 있으므로 (1), (3)은 변하지 않는다. 그러므로 $E_{21}$의 첫 번째와 세 번째 행은 Iden.. [선형대수] 2강. 1차 연립방정식과 가우스소거법 1. Singular Case Singular Case는 연립방정식을 풀었을 때, 해가 없거나 무한한 경우를 말한다. (1) Row form 조건 Parallel(해 없음) 직선이나 평면이 서로 평행 Overlap(해 무한) 직선이나 평면이 완전히 겹침 (2) Column form 우선 Column form이 평행하려면 두 개의 벡터가 서로 나란(평행)해야 한다.(직선의 기울기가 같은 것과는 다르다.) 조건 Parallel(해 없음) 벡터들이 있는 평면 밖에 찾고자 하는 값이 있다. Overlap(해 무한) 벡터들이 있는 평면 안에 찾고자 하는 값이 있다. 2. Gauss Elimination 가우스 소거법을 활용하면 미지수가 몇 개든 기계적으로(프로그래밍 해서) 연립방정식을 풀 수 있다. (1) 계산 .. [선형대수] 1강. 선형성 정의 및 1차 연립 방정식의 의미 참고: 이 포스팅은 한양대학교 이상화 교수님의 강의를 기반으로 작성했습니다. 본격적으로 Chapter 1에 들어가기 전에 몇 가지를 학습하고 가야 한다. 1. Linearity(선형성) 선형성에 대해 배우는 이유: 선형성이 있는 것은 아무리 복잡해 보이더라도 모두 행렬로 표현해 해결할 수 있다. (1) Linearity의 조건 어떤 함수, 연산이 Linearity를 가지려면 아래와 같은 두 조건을 만족해야 한다. $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$ $f(ax) = af(x)$(a는 상수) 이 두 가지를 합치면 아래와 같다. $$f(a_1x_1 + a_2x_2) = a_1f(x_1) + a_2f(x_2)$$ 일반화 시켜보면 아래와 같이 표현할 수 있다. $$f(\sum_{k = 1}.. 3강 수학적 벡터 (벡터공간) 1. 대수구조 (1) 대수구조 벡터공간에 대한 이해는 선형대수학의 본격적인 시작과 같다. 또한 선형대수학은 수학의 한 분야인 대수학을 시작하는 첫 걸음이다. 그렇기 때문에 본격적으로 벡터 공간에 대해 배우기 전에 우리가 탐구하는 학문인 대수학에 대해 알 필요가 있다. 대수학: 대수구조를 연구하는 학문 대수구조: 보통은 수학의 대상을 '수'라고만 생각하기 쉬운데, 수학은 수만을 탐구의 대상으로 삼지 않음. 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그리고 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상이 대수구조다. 즉, 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.(단순한 집합. 즉, {철수, 영희, 민수}와 같은 집합 자체는 수학적으로 할수 있는 것이 많지 않다. 집합으로부.. 2강 물리적 벡터 벡터와 좌표계 (1) 평면 벡터 $R^2$에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구 여기에 있는 $A(a_1, a_2)$는 점의 좌표가 아니라 벡터이며, $x$가 $a_1$만큼 변할 때 $y$는 $a_2$만큼 변한다는 정보를 준다. 벡터의 정의는 크기와 방향에 대해서만 이야기 하므로, 벡터의 시점(시작점)과 종점은 중요하지 않다. 즉, 두 벡터를 비교할 때, 시점과 종점이 다르더라도 크기와 방향만 같으면 같은 벡터로 본다. 예를 들어, 위 그림에서 v와 같은 벡터를 찾아보자. 방향 같다 크기 같다 a, d c, d 방향도 같고, 크기도 같은 d가 같은 벡터다. (2) 공간 벡터 $R^3$에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구 축이 세 개이므로 순서쌍도 세 개가 있다. (3).. 이전 1 2 다음
