3강 수학적 벡터 (벡터공간)

 

1. 대수구조

(1) 대수구조

벡터공간에 대한 이해는 선형대수학의 본격적인 시작과 같다. 또한 선형대수학은 수학의 한 분야인 대수학을 시작하는 첫 걸음이다. 그렇기 때문에 본격적으로 벡터 공간에 대해 배우기 전에 우리가 탐구하는 학문인 대수학에 대해 알 필요가 있다.

 

대수학: 대수구조를 연구하는 학문

대수구조: 보통은 수학의 대상을 '수'라고만 생각하기 쉬운데, 수학은 수만을 탐구의 대상으로 삼지 않음. 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그리고 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상이 대수구조다. 즉, 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.(단순한 집합. 즉, {철수, 영희, 민수}와 같은 집합 자체는 수학적으로 할수 있는 것이 많지 않다. 집합으로부터 더 많은 의미를 끌어내기 위해 집합에 구조(structure)를 부여한 것임)

 

선형대수는 벡터공간이라는 대수구조 하나만을 연구하지만, 여기서 익힌 경험을 바탕으로 다른 대수구조를 쉽게 배울 수 있다(대수구조가 같은 것 끼리는 상호호환된다). 즉, 선형대수를 통해 대수구조를 다루는 방법을 배우게 된다. 그래서 선형대수가 중요한 것.

 

(2) 여러 대수구조

대수구조에서 말하는 연산은 +, -, *, / 등 우리가 알고 있는 것 뿐만 아니라 직접 정의한 것도 가능하다.

연산은 닫혀 있어야 한다(연산의 결과는 집합에 있는 원소 중 하나여야 한다.)

 

• 반군(semigroup): 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산(두 개의 항으로 연산해 하나의 값을 만든는 연산. +, -, *, /)을 갖춘 대수구조. 연산법칙이 부여된 것 중 최상위 대수구조
• 모노이드(monoid): 항등원을 갖는 반군
• 군(group): 역원을 갖는 모노이드. 즉, 군은 집합에 이항연산을 넣고, 그 이항연산이 따라야 할 연산 법칙은 결합법칙, 항등원, 역원이 있다.
• 아벨군(가환군)(commutative group): 교환법칙이 성립하는 군
• 환(ring): 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고, 분배법칙이 성립하는 대수구조
• 가군(module): 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군. 가군이 중요한 이유는 벡터공간이 가군이기 때문이다(실제로는 환의 하위구조인 체에서 가져온 것)

 

• 가환환(commutative ring): 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환. 가환환의 두 대수구조는 교환법칙과 결합법칙 모두 만족한다.
• 나눗셈환(division ring): 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며(역원을 가지면 당연히 항등원도 가짐), 원소의 개수가 둘 이상인 환. 사원수가 대표적인 예
• 체(field): 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조. 유리수, 실수, 복소수가 대표적인 예

2. 벡터공간

(1) 벡터공간

체 F에 대한 가군(V, +, *)을 벡터공간, V의 원소를 벡터라 한다.

이 때 +는 벡터의 덧셈이고, *는 벡터의 스칼라배다.

 

대수구조에서 부여되는 연산은 대부분 아래와 같이 함수와 같은 형태로 정의된다.

$+: V \times V \rightarrow V$

$\cdot: F \times V \rightarrow V$

여기서 $\times$는 곱셈이 아니라 집합의 곱집합이다. 곱집합은 두 집합의 원소들로 만들 수 있는 모든 관계의 집합

$\cdot: F \times V \rightarrow V$을 보면, 'F와 V의 곱집합으로부터 V로 가게되는 함수'라는 뜻이다.

 

아래 공리를 만족해야 벡터공간이라 볼 수 있다.

즉,

1. V라는 집합에 덧셈 연산이 부여되었을 때, 이 대수구조가 아벨군을 형성해야 함.

2. 체 F에서 원소 하나를 부여받아 스칼라배를 했을 때, 이 대수구조가 F에 대한 가군이 되어야 한다.

 

ex)

$V= \left\{ x \mid x \in \mathbb{R}, x>0 \right\}$

$F=\mathbb{R}$

$+: V \times V \rightarrow V, u+v=uv$

$\cdot: F \times V \rightarrow V, k \cdot u=u^k$

 

$(V,+)$는 아벨군일까?

1) $(u+v)+w=(uv)+w=uvw \Leftrightarrow u+(v+w)=u+(vw)=uvw$ => 결합법칙

2) $u+v=uv=vu=v+u$ => 교환법칙

3) $u+1=u \cdot 1=u$ => 항등원

4) $u+{1 \over u}=u \cdot {1 \over u}=1$ => 역원

 

$(V,+,\cdot)$는 가군일까?

1) $k\cdot(m\cdot u)=k\cdot(u^m)=(u^m)^k=u^{mk}=u^{km}=(k\cdot m)\cdot u$ => 결합법칙

2) $1\cdot u=u^1=u$

3) $(k+m)\cdot(u+v)=(u+v)^{k+m}=(uv)^{k+m}=u^{k+m}v^{k+m}=u^ku^mv^kv^m$

$=u^k+u^m+v^k+v^m$(새로 정의한 덧셈)$=ku+mu+kv+mv$ => 분배법칙

 

벡터의 정의가 명확해졌다. 벡터는 벡터공간의 원소다.

 

(2) 선형생성

1) 부분벡터공간

벡터공간 V 상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 V의 부분집합 W를 V의 부분벡터공간 또는 부분공간이라고 한다.

 

2) (선형)생성

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S=\left\{v_1, v_2, ... v_n\right\}$ 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, V의 부분벡터공간을 S의 (선형)생성 $span(S)$이라 한다. 이 때 'S가 $span(S)$를 (선형)생성한다'라고 한다.

$$span(S)=\left\{\sum_{i=1}^n k_iv_i \mid k_i \in F, v_i \in S\right\}$$

 

ex)

$S=\left\{(1,0), (0,1)\right\}$

$F=\mathbb{R}$

$\Rightarrow span(S)=\left\{k(1,0)+m(0,1) \mid k,m \in F\right\}=\left\{(k,m) \mid k,m \in F\right\}=\mathbb{R}^2$

=> 두 벡터가 2차원 실수벡터 공간을 생성했다. 이 두 벡터가 2차원 실수벡터를 이루는 데 가장 근본적인 역할을 한다.

 

(3) 선형독립

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S=\left\{v_1, v_2, ... v_n\right\}$에 대하여 $k_1v_1+k_2v_2+...k_nv_n=\vec{0} \Rightarrow k_1=k_2=...=k_n=0$이면 S가 선형독립이라고 한다. 만약 $k_1=k_2=...=k_n=0$ 이외의 다른 해가 존재하면 S가 선형종속이라고 한다.

 

ex)

$S_1=\left\{(1,0), (0,1), (1,1)\right\}$ 일 때,

$k_1(1,0)+k_2(0,1)+k_3{1,1}=\vec{0}$ 을 만족시키는 해는 아래와 같이 무수히 많다.

 

$k_1=k_2=k_3=0$

$k_1=k_2=1,k_3=-1$

$k_1=k_2=2,k_3=-2$

$k_1=k_2=3,k_3=-3$

...

 

다른 해가 존재하므로 선형 종속

 

$S_2=\left\{(1,0), (0,1)\right\}$ 일 때,

$k_1(1,0)+k_2(0,1)=\vec{0}$ 을 만족시키는 해는 하나다.

 

$k_1=k_2=0$

 

선형 독립이다.

 

동일 차원의 공간에서 한 집합은 선형종속이고 나머지 하나는 선형독립이라고 한다면, 상대적으로 선형독립 집합이 보통 연산을 처리할 때 간단하다.

 

3. 여러 벡터공간

(1) 노름공간

노름이 부여된 K-공간 $(V, \parallel \cdot \parallel)$

노름이란 $\forall u, v \in V, \forall k \in K$에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수

(2) 내적공간

내적이 부여된 K-벡터공간 $(V, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle)$

내적이란 $\forall u, v, w \in V, \forall k \in K$에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수

$\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$은 내적을 의미함

 

(3) 유클리드 공간

음이 아닌 정수 n에 대하여 n차원 유클리드 공간 $R^n$은 실수집합 $R$의 n번 곱집합이며, 이를 n차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다.

 

이 위에 내적 $\left\langle u , v \right\rangle=\sum_{i=1}^n u_iv_i=u \cdot v$을 정의하면 점곱, 스칼라곱 이라고도 한다.

 

4. 기저와 차원

(1) 기저(Basis)

벡터공간 V의 부분집합 B가 선형독립이고 V를 생성할 때, B를 V의 기저라 한다.

 

ex)

$V=\mathbb{R}^2$

$B_1=\left\{(1, 0), (0, 1)\right\}$

$\Rightarrow span(B_1)=\mathbb{R}^2$

$\therefore B_1$은 $V$의 기저

 

$B_2=\left\{(1, 0), (1, 1)\right\}$

$(a, b)=k(1,0) + m(1,1)=(k+m, m)$

$m=b, k=a-b$이므로 $B_2$도 $V$의 기저

 

$B_3=\left\{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\right\}$

$span(B_3)=\mathbb{R}^2$, but, 선형종속이므로 $V$의 기저가 아니다.

 

(2) 차원(Dimension)

B가 벡터공간 V의 기저일 때 B의 원소의 개수를 V의 차원 $dim(V)$라 한다.

 

(3) 정규기저

다음 조건을 만족하는 노름공간 V의 기저 B를 정규기저라 한다.

$\forall b_1 \in B, \parallel b \parallel = 1$ => 모든 벡터의 노름이 1

 

(4) 직교기저

다음 조건을 만족하는 내적공간 V의 기저 B를 정규기저라 한다.

$\forall b_1, b_2 \in B, \left\langle b_1, b_2 \right\rangle = 0$ => 서로 다른 두 벡터를 내적했을 때 0

 

(5) 정규직교기저

정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라고 한다.

 

특히 $R^n$의 정규직교기저 $\left\{ (1,0,...0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1)\right\}$를 표준기저라 한다.

 

ex) $\mathbb{R}^2$에 대해

 

	정규	직교
$B_1=\left\{(2,0),(0,1)\right\}$	X	X
$B_2=\left\{(1,0),({1\over \sqrt(2)},{1\over \sqrt(2)})\right\}$	O	X
$B_3=\left\{(1,1),(1,-1)\right\}$	X	O
$B_4=\left\{(1,0),(0,1)\right\}$	O	O