1강 행렬과 행렬식

 

행렬

대문자로 표기

소괄호를 쓰든, 대괄호를 쓰든 상관 없음

 

ex)

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{bmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ a & b & c \end{vmatrix}$$

 

(1) 용어 정리

성분: 행렬 안에 배열된 구성원(=항=원소) $a_{ij}$는 i번째 행, j번째 열

행(row): 행렬의 가로줄

열(column): 행렬의 세로줄

mXn 행렬: m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬. 'm행 n열 행렬'이라고 읽으면 된다. $(a_{ij})_{m \times n}$ 또는 $(a_{ij})$로 표기할 수 있다.

주대각선: 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선

대각성분: 주대각선에 걸치는, 행과 열의 지표수가 같은 성분. 즉, (i, i) 성분

대각행렬: 대각성분으로만 이루어진 행렬

영행렬: 모든 성분이 0인 행렬. 대문자 O로 표기

전치행렬: $(a_{ij})$에 대하여 $(a_{ji})$. T로 표기 ex) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

대칭행렬: $A^T=A$인 행렬

정사각행렬: 행, 열의 개수가 같은 행렬

단위행렬: 모든 대각성분이 1이고, 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

 

(2) 행렬의 연산

1) 덧셈과 뺄셈

$A \pm B=(a_{ij} \pm b_{ij})$

 

2) 상수배

상수 c에 대해 $cA=(ca_{ij})$

 

3) 곱셈

$m \times n$인 행렬 A와 $n \times r$인 행렬 B에 대해 $AB=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$

 

(행렬의 곱셈을 정확하게 이해하려면 뒤에서 나오는 벡터의 선형사상을 배워야 한다) 행렬의 곱은 두 행렬의 합성이라고 볼 수 있다. 또한, 행렬의 곱은 함수의 합성, 집합의 데카르트 곱, 벡터의 선형결합 등과 용어만 다르지 의미적으로는 동일하다.

 

ex)

합성함수

$f(x,y)=(ax+by, cx+dy), g(x,y)=(px+qy, rx+sy)$일 때,

$f \circ g=(apx+aqy+brx+bsy, cpx+cqy+drx+dsy)=((ap+br)x+(aq+bs)y, (cp+dr)x+(cq+ds)y)$

 

행렬의 곱

$F=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, G=\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$일 때,

$F \circ G=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$

 

이므로 이 둘은 동일한 형태를 띄고 있음을 알 수 있다.

 

연립일차방정식

(1) 행렬의 표현

 

$\left\{\begin{array}{ll}x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \end{array}\right.$

 

1) $\begin{pmatrix} 1&2&5\\ 2&3&8 \end{pmatrix}$으로 표현 => 가우스 조던 소거법으로 품

2) $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$으로 표현 => 역행렬을 이용해서 품

 

여기에서 $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}$을 계수행렬, $\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$을 상수행렬, $\begin{pmatrix} 1&2&5\\ 2&3&8 \end{pmatrix}$을 첨가행렬이라고 한다.

 

(2) 가우스 조던 소거법

다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.

 

1) 한 행을 상수배한다.

2) 한 행을 상수배하여 다른 행에 더하거나 뺀다.

3) 두 행을 맞바꾼다.

 

ex 1)

$\left\{\begin{array}{ll}x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \end{array}\right.$ => $\begin{pmatrix} 1&2&5\\ 2&3&8 \end{pmatrix}$

= 2번 활용 => $\begin{pmatrix} 1&2&5 \\ 0&-1&-2 \end{pmatrix}$

= 1번 활용 => $\begin{pmatrix} 1&2&5 \\ 0&1&2 \end{pmatrix} ... (1)$

= 2번 활용 => $\begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&2 \end{pmatrix} ... (2)$

기약 행 사다리꼴이 완성되었으며, 해는 $x=1, y=2$이다.

 

(1)에 있는 사다리꼴이 '행 사다리꼴'이며, 여기까지의 작업 가우스 소거법이다. (2)에 있는 사다리꼴이 '기약 행 사다리꼴'이며, 여기까지의 작업이 가우스 조던 소거법이다. 즉, 가우스 조던 소거법은 가우스 소거법에서 한 단계를 추가한 것이다.

 

'행 사다리꼴'과 '기약 행 사다리꼴'의 차이는 이곳에서 볼 수 있다.

 

ex 2)

 

이 예제는 해가 z=t, x=1-t, y=1-t와 같은 식으로 나왔는데, 이런 해를 '상수해'와 상반되는 개념으로 '일반해'라고 한다.

 

가우스 조던 소거법은 계산 해내기가 상당히 까다로운데, 그럼에도 불구하고 배우는 이유는 다음과 같다.

 

1) 컴퓨터로 알고리즘 짜기 좋다

2) 다항식 보간법에 쓰인다

3) 역행렬을 구하는 데 쓰인다

 

(3) 역행렬 이용

연립일차방정식 $AX=B$에서 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재하면, $X=A^{-1}B$이다.

ex) $\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} $

 

행렬식

(1) 행렬식이란?

정사각행렬 A를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수. det A=|A|

 

$M_{ij}$는 i행과 j열을 제외한 나머지를 말한다.

 

$3 \times 3$의 행렬 식을 구할 때 반드시 $a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$과 같이 구할 필요는 없다. 아래가 그 예시다.

 

 

* 사루스의 법칙

사루스 법칙의 행렬식

(2) 역행렬

행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉, 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$은 $A^{-1}={1 \over detA}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots \\ C_{12} & C_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

 

단, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

 

$AX=I$일 때, X는 역행렬이다.

 

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots \\ C_{12} & C_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} detA & 0 & \cdots \\ 0 & detA & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

 

$A \cdot adjA=detA \cdot I$이 되는 이유는 강의에 나와있다.

 

이 때, $\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots \\ C_{12} & C_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$를 A를 따라오는 수반행렬이라고 하며, adj A라고 한다. 그러므로 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$A \cdot adjA=detA \cdot I \Leftrightarrow A \cdot {adjA \over detA}=I$

 

$\therefore A^{-1}={adjA \over detA}$

(3) 크래머 공식

일부만 구하고 싶을 때 역행렬을 통째로 구하는 것은 비효율적이다. 성분을 따로 빼내 계산하는 방법이다.

 

연립일차방정식 $AX=B$에서, A의 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때,

 

 

 

단, j=1, ..., n이고, $A_{j}$는 A의 j번째 열을 B의 원소로 바꾼 행렬이다.