0강 수학의 절반. 선형대수

선형대수학이란?

선형대수의 역사 요약

• 1750년경 "크래머의 공식"
• 1800년경 "가우스 소거법"
• 1850년경 케일리, 실베스터 "행렬이론"

위 순서를 거쳐 20세기 부터 대학 수학의 기본 과목으로 정립

 

선형대수학이란?

"행렬"과 "벡터"라는 수학 대상을 연구하는 학문

 

선형대수학의 중요성

• 군론, 추상대수학, 함수해석학 등 다양한 수학 과목의 출발점
• 미적분학과 더불어 수학이라는 세계를 이루는 주요 과목
• 과학, 공학, 컴퓨터공학, 경영, 경제, 사회과학 등과 같은 분야에서 활용

행렬

처음에는 행렬을 연립방정식을 풀기 위한 도구로 다루기도 하겠지만, 그것은 어디까지나 행렬에 익숙해지기 위함

 

• 행렬은 그 자체로도 수학의 대상
• 많은 분야에서 실질적인 응용의 열쇠

앞서 선형대수학은 과학, 공학 등의 분야에서 활용된다고 했는데, 그것이 가능한 이유가 행렬이 범용성을 띄기 때문이다. 행렬의 범용성에 대해 예를 들어 설명해 보겠다.

 

Case 1

미국, 중국, 일본에 물건을 수출한다. 총 6개만 수출할 수 있을 때, 각 국가에 몇 개씩 팔아야 가장 많은 매출을 기록할까?

 

미국	중국	일본
3	2	1
2	2	2
1	2	3

첫 번째 행은 미국에 3개, 중국에 2개, 일본에 1개를 수출한다는 의미다. 같은 방식으로 세 가지 시나리오를 만들었다. 각 행에 미국, 중국, 일본에 수출했을 때의 가격(a, b, c)을 곱하면 각 시나리오에서 얻을 수 있는 매출액을 얻을 수 있다.

 

위 표처럼 행과 열이 갖춰지도록 썼다면 행렬로 표현할 수 있다. (행렬의 곱셈은 나중에 배운다)

 

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3&2&1 \\ 2&2&2 \\ 1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{equation}$$

 

Case 2

서울(1), 세종(2), 부산(3)에 사업장을 가지고 있다. 사업장을 다른 지역으로 이전하려고 한다.

 

서울	세종	부산
3	2	1
2	2	2
1	2	3

첫 번째 행은 서울 사업장을 부산으로, 세종은 그대로, 부산 사업장을 서울로 이전한다는 의미다. 같은 방식으로 세 가지 시나리오를 만들었다.

 

위 표처럼 행과 열이 갖춰지도록 썼다면 행렬로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3&2&1 \\ 2&2&2 \\ 1&2&3 \end{pmatrix} \end{equation}$$

 

Case1과 2은 전혀 다른 문제임에도 공통적으로 $\begin{equation} \begin{pmatrix} 3&2&1 \\ 2&2&2 \\ 1&2&3 \end{pmatrix} \end{equation}$ 행렬이 등장했다. 그렇기 때문에 수학적으로 이 둘을 동일한 문제로 간주할 수 있다. 즉, 현실에서는 전혀 다른 문제지만, 행렬로 바꿔 수학의 세계로 가져온다면, 선형대수학의 다양한 기법들을 접목시킬 수 있다. 이러한 성질을 행렬의 범용성이라고 한다.

 

벡터

• 물리, 공학에 기반
• 우리는 벡터를 이용해 다양한 수학적 구조를 만듦