Inverse
A⋅A−1=A−1⋅A=I
역행렬과의 곱셈은 교환 법칙이 성립한다.
하지만 모든 행렬 A가 역행렬을 가지는 것이 아니다.
1) 역행렬은 언제 존재하는가?
가우스 소거법의 결과, n개의 pivot이 생길 때 역행렬이 존재한다(대각에 위치한 원소가 0이 아니어야 한다. 또한 pivot이 만들어지지 않더라도 행 교환으로 만들 수 있으면 역행렬이 존재한다.)
det(A)=n∏i=1di
즉, ∏ni=1di가 0이라면 역행렬은 존재하지 않으며, det(A)도 가우스 소거법으로 구할 수 있다.
2) 역행렬은 unique하다.
3) A의 역행렬이 존재한다면,
Ax=b⇒A−1⋅Ax=A−1b
x=A−1b
A−1는 unique하고, b도 이미 주어진 벡터이기 때문에 unique하다.
즉, x는 단 하나의 해를 가진다. (역행렬이 존재하는 연립 방정식의 해는 유일하다)
4) 0이 아닌 x에 대해 Ax=0이 성립하려면 A−1이 존재해서는 안된다. 존재한다면 A−1Ax=A−10⇒x=0인데, x가 0이라면 입력값이 모두 0이라는 뜻이므로 조건에 어긋난다.
5) A=[abcd],A−1=1ad−bc[d−b −ca]
이렇게 계산으로 역행렬을 구하는 것은 2차원까지다.
6) Diagmal Matrix
[d1000d2000d3]은 ∏ni=1di≠0일 때만 역행렬이 있다.
⇒[1d10001d20001d3]
7) 역행렬을 하면 순서가 달라진다.
(ABC)−1=C−1B−1A−1
Gauss-Jordan Method
3차원 이상의 A−1을 계산할 때 사용하는 방법
A⋅A−1=I
L−1⋅A⋅A−1=L−1⋅I
U⋅A−1=L−1
U−1⋅U⋅A−1=U−1⋅L−1
A−1=U−1⋅L−1
ex)
A⋅A−1=I
[2114−60−272]⋅A−1=[100010001]
[2110−8−2001]⋅A−1=[100−210−111]
[2000−80001]⋅A−1=[32−58−14432−111]
[100010001]⋅A−1=[34−516−18−12−38−14−111]
A−1=[34−516−18−12−38−14−111]
이 내용을 기반으로 n×n 행렬로 확장 가능하다.
Transpose
aij⇒aji
Transpose는 반드시 Square Matrix일 때만 쓸수 있는 것이 아니다.
{(A+B)T=AT+BT(A+B)−1≠A−1+B−1
{(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1
(A−1)T=(AT)−1
Symmetric Matrix
AT=A인 행렬(정사각 행렬이어야 한다.)
* A가 symmetric하고, invertible하다면 A−1도 그렇다.
* A=LU=LDU라 할 때, AT=A라면, LDU=UTDLT이라서 계산 쉬워짐
Correlation Matrix
R=ATA
RT=R
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