[선형대수] 2강. 1차 연립방정식과 가우스소거법

1. Singular Case

Singular Case는 연립방정식을 풀었을 때, 해가 없거나 무한한 경우를 말한다.

(1) Row form

	조건
Parallel(해 없음)	직선이나 평면이 서로 평행
Overlap(해 무한)	직선이나 평면이 완전히 겹침

(2) Column form

우선 Column form이 평행하려면 두 개의 벡터가 서로 나란(평행)해야 한다.(직선의 기울기가 같은 것과는 다르다.)

	조건
Parallel(해 없음)	벡터들이 있는 평면 밖에 찾고자 하는 값이 있다.
Overlap(해 무한)	벡터들이 있는 평면 안에 찾고자 하는 값이 있다.

2. Gauss Elimination

가우스 소거법을 활용하면 미지수가 몇 개든 기계적으로(프로그래밍 해서) 연립방정식을 풀 수 있다.

(1) 계산 방법

우선 u를 제거해야 한다.

 

1. (1)로 (2)의 $u$를 제거한다.

$(2) \Rightarrow (2)- 2\cdot (1)\Rightarrow-8v-2w=-12$

 

2. (1)로 (3)의 $u$를 제거한다.

$(3) \Rightarrow (1)+(3)\Rightarrow8v+3w=14$

 

3. u 제거를 마쳤으므로 이번에는 (2)로 (3)의 v를 제거해야 한다.

$(3) \Rightarrow (2)+(3) \Rightarrow w=2$

 

이 단계에서 연립 방정식을 행렬로 바꾸면 아래와 같은 행렬이 나오는데, Pivot을 기준으로 아래에는 0이 있다. 이 행렬을 Upper Triangular Matrix라고 한다.

 

$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -8 & -2 & -12 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$

 

4. w를 구했으니 (2)에 w를 넣어 v를 구하고, (1)에 w, v를 넣어서 구하면 계산이 끝난다.(이런 계산 방법을 역치환이라고 한다)

(2) Pivot

이미지 출처: https://medium.com/sho-jp/towards-understanding-linear-algebra-part-1-d43710535503

 

위 그림에서 대각에 위치한 것들을 Pivot이라고 한다. 모든 Pivot이 0이 아닌 값을 가질 때 연립 방정식은 unique한 솔루션을 가진다. Pivot 중 하나라도 0이 있다면 Singular Case가 된다.

(3) Break Down

Break Down은 Pivot의 위치에 0이 나타날 때 수행한다. 이 때 가우스 소거는 잠시 중단한다. 원리는 단순하다. 연립 방정식은 순서를 바꾼다고 해서 해가 달라지지 않기 때문에 연립 방정식의 순서를 바꿔줌으로써 문제를 해결한다.

 

ex 1) Break Down으로 하나의 해를 구할 수 있는 예

 

현 상태에서는 Pivot의 위치에 0이 없으므로 문제가 없다. 가우스 소거법을 해본다.

 

1. (1)로 (2)의 $u$를 제거한다.
   $(2) \Rightarrow (2)- 2\cdot (1)\Rightarrow3w=b-2a$

2. (1)로 (3)의 $u$를 제거한다.
   $(3) \Rightarrow (3)-4\cdot(1)\Rightarrow2v+4w=c-4a$

여기서 연립 방정식을 행렬로 만들어 보자.

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 3 & b-2a \\ 0 & 2 & 4 & c-4a\end{bmatrix}$$

 

(2)의 pivot으로 (3)의 v를 없애야 하는데 (2)의 Pivot이 0임을 알 수 있다. 그래서 (2)와 (3)의 위치를 바꾼다.

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 4 & c-4a \\ 0 & 0 & 3 & b-2a \end{bmatrix}$$

 

그럼 가우스 소거를 하는 데 문제가 없다. 이런 계산 방법을 Break Down이라고 한다.

 

ex 2) Break Down으로 하나의 해를 구할 수 없는 예

 

 

현 상태에서는 Pivot의 위치에 0이 없으므로 문제가 없다. 가우스 소거법을 해본다.

1. (1)로 (2)의 $u$를 제거한다.
   $(2) \Rightarrow (2)- 2\cdot (1)\Rightarrow3w=b-2a$

2. (1)로 (3)의 $u$를 제거한다.
   $(3) \Rightarrow (3)-4\cdot(1)\Rightarrow4w=c-4a$

여기서 연립 방정식을 행렬로 만들어 보자.

 

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 3 & b-2a \\ 0 & 0 & 4 & c-4a\end{bmatrix}$$

 

이 경우에는 (2)와 (3)을 Pivoting하더라도 Pivot의 자리를 0이 아닌 값으로 채울 수 없으며, 해가 무한히 많거나, 해가 없다.

 

$$w=\frac{b-2a}{3}, w=\frac{c-4a}{4}$$

 

(2)와 (3)을 봤을 때 w는 위와 같은 값을 가진다. 만약 두 개의 w가 같도록 a, b, c가 조절되어 있다면 해가 무한한 것이고, 두 개가 다르다면 해가 없는 것이다.