로그
로그는 지수를 표현하기 위해 사용한다. $2^x = 4$에서 x를 구하는 것은 아주 쉽다. 답은 2다. 하지만 $2^x = 10$일 때 x는 어떻게 구할까? x의 값이 3 보다 크고 4보다 작다는 것은 알 수 있지만 정확하게는 알 수 없다. 그래서 로그가 필요하다.
로그를 활용해서 x를 표현해보면 $log_210$이다. 이것을 이해할 때는 '2를 거듭제곱하여 10이 되게 만드는 수'라고 하면 된다. 참고로 작게 쓰는 숫자를 밑이라고 하고, 크게 쓰는 숫자를 진수라고 한다.
밑과 진수의 조건
로그는 지수에서 파생되었기 때문에 지수의 성질을 잘 이해하면 로그의 성질은 저절로 알 수 있다고 한다.
$log_ab$일 때 a > 0, a != 1, b > 0을 만족해야 한다.
지수가 유리수일 때부터 정의되려면 밑이 0보다 커야한다고 한다. 그러므로 로그에서도 a는 0보다 커야하는 것이다.
a가 1이면 어떤 수를 곱하더라도 1이 나오므로 로그를 하는 의미가 없음
b는 a가 0보다 큰 수이기 때문에 a를 거듭제곱하면 음수가 나올 수 없다.
로그 계산
1. $log_a1 = 0$, $log_aa = 1$
2. $log_aM + log_aN = log_aMN$
3. $log_aM - log_aN = log_aM/N$
4. $log_aM^k = klog_aM$
1에 대한 설명
어떤 숫자를 n 번 거듭제곱해 1을 만들기 위해서는 n이 반드시 0이 되어야 한다.
또한 어떤 숫자를 n번 거듭제곱해 자기자신(a)를 만들기 위해서는 n이 반드시 1이 되어야 한다.
2에 대한 설명
$log_aM = x$, $log_aN = y$로 두면 $log_aM + log_aN = x + y$가 된다. $x + y$를 구하기 위해 로그를 풀어보자. 그럼 $a^x = M$, $a^y = N$이 되며, $a^x \times a^y$를 계산하면 $a^{x+y} = MN$가 되므로 $x + y$를 구할 수 있다. $x + y = log_aMN$이다.
3에 대한 설명
2와 같이 하면 된다. $log_aM = x$, $log_aN = y$로 두면 $log_aM - log_aN = x - y$가 된다. $x - y$를 구하기 위해 로그를 풀어보자. 그럼 $a^x = M$, $a^y = N$이 되며, $a^x / a^y$를 계산하면 $a^{x-y} = M/N$가 되므로 $x - y$를 구할 수 있다. $x - y = log_aM/N$이다.
4에 대한 설명
$log_aM$을 x로 둔다면 $log_aM^k =log_aM\times M...\times M\times M = log_aM + log_aM + ... + log_aM + log_aM$가 되므로 $klog_aM$가 된다.
밑변환 공식
$log_ab = log_cb / log_ca$ (단, c > 0, c != 0)
응용
$log_ab = log_bb / log_ba = 1/ log_ba$
기타 공식
$log_{a^m}{b^n} = n / mlog_ab$
$a^{log_ab} = b$
$a^{log_cb} = b^{log_ca}$
Math
